2016年全國初中數(shù)學(xué)競賽考試復(fù)習(xí),幾何中的兩個基本量是：線段的長度和角的大小.三角函數(shù)的本質(zhì)就是用線段長度之比來表示角的大小，從而將兩個基本量聯(lián)系在一起，使我們可以借助三角變換或三角計算來解決一些較難的幾何問題.三角函數(shù)不僅是一門有趣的學(xué)問，而且是解決幾何問題的有力工具。

　　2016年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

　　1. 角函數(shù)的計算和證明問題

　　在解三角函數(shù)問題之前，除了熟知初三教材中的有關(guān)知識外，還應(yīng)該掌握：

　　(1)三角函數(shù)的單調(diào)性 當a為銳角時，sina與tga的值隨a的值增大而增大;cosa與ctga隨a的值增大而減小;當a為鈍角時，利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)討論.

　　注意到sin45°=cos45°= ,由(1)可知,當時0sina;當45°

　　(2)三角函數(shù)的有界性|sina|≤1,|cosa|≤1,tga、ctga可取任意實數(shù)值(這一點可直接利用三角函數(shù)定義導(dǎo)出).

　　例1(1986年全國初中數(shù)學(xué)競賽備用題)在△ABC中，如果等式sinA+cosA= 成立，那么角A是( )

　　(A)銳角 (B)鈍角 (C)直角

　　分析 對A分類，結(jié)合sinA和cosA的單調(diào)性用枚舉法討論.

　　解當A=90°時，sinA和cosA=1;

　　當45° ，cosA>0，

　　∴sinA+cosA> 當A=45°時，sinA+cosA= 當00,cosA> ∴sinA+cosA> ∵ 1, 都大于 .

　　∴淘汰(A)、(C)，選(B).

　　例2(1982年上海初中數(shù)學(xué)競賽題)ctg67°30′的值是( )

　　(A) -1 (B)2- (C) -1

　　(D) (E) 分析 構(gòu)造一個有一銳角恰為67°30′的Rt△，再用余切定義求之.

　　解 如圖36-1，作等腰Rt△ABC，設(shè)∠B=90°，AB=BC=1.延長BA到D使AD=AC，連DC，則AD=AC= ，∠D=22.5°,∠DCB=67.5°.這時，

　　ctg67°30′=ctg∠DCB= ∴選(A).