3.梯形中常用輔助線(xiàn)的添法

　　梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線(xiàn)的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線(xiàn)有：

　　(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

　　(2)梯形外平移一腰

　　(3)梯形內(nèi)平移兩腰

　　(4)延長(zhǎng)兩腰

　　(5)過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

　　(6)平移對(duì)角線(xiàn)

　　(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

　　(8)過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線(xiàn)。

　　(9)作中位線(xiàn)

　　當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線(xiàn)并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線(xiàn)這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

　　4.圓中常用輔助線(xiàn)的添法

　　在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線(xiàn)的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。

　　(1)見(jiàn)弦作弦心距

　　有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距(有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑)，通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

　　(2)見(jiàn)直徑作圓周角

　　在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。

　　(3)見(jiàn)切線(xiàn)作半徑

　　命題的條件中含有圓的切線(xiàn)，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線(xiàn)與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

　　(4)兩圓相切作公切線(xiàn)

　　對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線(xiàn)或作它們的連心線(xiàn)，通過(guò)公切線(xiàn)可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

　　(5)兩圓相交作公共弦

　　對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。

　　三、作輔助線(xiàn)的方法

　　1、中點(diǎn)、中位線(xiàn)，延線(xiàn)，平行線(xiàn)。

　　如遇條件中有中點(diǎn)，中線(xiàn)、中位線(xiàn)等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)或中位線(xiàn)作輔助線(xiàn)，使延長(zhǎng)的某一段等于中線(xiàn)或中位線(xiàn);另一種輔助線(xiàn)是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線(xiàn)段的平行線(xiàn)，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。

　　2、垂線(xiàn)、分角線(xiàn)，翻轉(zhuǎn)全等連。

　　如遇條件中，有垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)，可以把圖形按軸對(duì)稱(chēng)的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)軸往往是垂線(xiàn)或角的平分線(xiàn)。

　　3、邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。

　　如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線(xiàn)的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱(chēng)中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。

　　4、造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。

　　如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線(xiàn)段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角;第二，是把三角形中的某一線(xiàn)段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)。”

　　托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線(xiàn)分別是造角和平移的代表)

　　5、兩圓若相交，連心公共弦。

　　如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或公共弦。

　　6、兩圓相切、離，連心，公切線(xiàn)。

　　如條件中出現(xiàn)兩圓相切(外切，內(nèi)切)，或相離(內(nèi)含、外離)，那么，輔助線(xiàn)往往是連心線(xiàn)或內(nèi)外公切線(xiàn)。

　　7、切線(xiàn)連直徑，直角與半圓。

　　如果條件中出現(xiàn)圓的切線(xiàn)，那么輔助線(xiàn)是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角;相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線(xiàn)是過(guò)直徑(或半徑)端點(diǎn)的切線(xiàn)。即切線(xiàn)與直徑互為輔助線(xiàn)。

　　如果條件中有直角三角形，那么作輔助線(xiàn)往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓;相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線(xiàn)。即直角與半圓互為輔助線(xiàn)。

　　8、弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。

　　如遇弧，則弧上的弦是輔助線(xiàn);如遇弦，則弦心距為輔助線(xiàn)。

　　如遇平行線(xiàn)，則平行線(xiàn)間的距離相等，距離為輔助線(xiàn);反之，亦成立。

　　如遇平行弦，則平行線(xiàn)間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線(xiàn)，反之，亦成立。

　　有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線(xiàn)。

　　9、面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

　　如遇求面積，(在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線(xiàn)段的平方、乘積，仍可視為求面積)，往往作底或高為輔助線(xiàn)，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

　　如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形;反之，亦成立。

　　另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線(xiàn)的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)?rdquo;。