實數(shù)，是有理數(shù)和無理數(shù)的總稱。數(shù)學上，實數(shù)定義為與數(shù)軸上的點相對應的數(shù)。今天學習啦小編將與大家分享：初二數(shù)學的實數(shù)相關知識點解析。具體內(nèi)容如下：

　　實數(shù)知識點解析一.定義

　　1.一般地,如果一個正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個正數(shù)x叫做a的算術平方根.a叫做被開方數(shù).

　　2.一般地,如果一個數(shù)的平方等于a,那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根,求一個數(shù)a的平方根的運算,叫做開平方.

　　3.一般地,如果一個數(shù)的立方等于a,那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.求一個數(shù)的立方根的運算,叫做開立方.

　　4.任何一個有理數(shù)都可以寫成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式.任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù).

　　5.無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù).

　　6.有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

　　7.數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應.平面直角坐標系中與有序實數(shù)對之間也是一一對應的.

　　1.平方與開平方互為逆運算.

　　2.正數(shù)的平方根有兩個,它們互為相反數(shù),其中正的平方根就是這個數(shù)的算術平方根.

　　3.當被開方數(shù)的小數(shù)點向右每移動兩位,它的算術平方根的小數(shù)點就向右移動一位.

　　4.當被平方數(shù)小數(shù)點每向右移動三位,它的立方根小數(shù)點向右移動一位.

　　5.數(shù)a的相反數(shù)是-a[a為任意實數(shù)],一個正實數(shù)的絕對值是它本身,一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù);0的絕對值是0.

　　1.被開方數(shù)一定是非負數(shù).

　　2.0,1的算術平方根是它本身;0的平方根是0,負數(shù)沒有平方根;正數(shù)的立方根是正數(shù),負數(shù)的立方根是負數(shù),0的立方根是0.

　　3.帶根號的無理數(shù)的整數(shù)倍或幾分之幾仍是無理數(shù);帶根號的數(shù)若開之后是有理數(shù)則是有理數(shù);任何一個有理數(shù)都能寫成分數(shù)的形式.

　　實數(shù)知識點解析四、性質(zhì)

　　基本運算

　　實數(shù)可實現(xiàn)的基本運算有加、減、乘、除、乘方等，對非負數(shù)(即正數(shù)和0)還可以進行開方運算。實數(shù)加、減、乘、除(除數(shù)不為零)、平方后結果還是實數(shù)。任何實數(shù)都可以開奇次方，結果仍是實數(shù)，只有非負實數(shù)，才能開偶次方其結果還是實數(shù)。

　　四則運算封閉性

　　實數(shù)集R對加、減、乘、除(除數(shù)不為零)四則運算具有封閉性，即任意兩個實數(shù)的和、差、積、商(除數(shù)不為零)仍然是實數(shù)。

　　有序性

　　實數(shù)集是有序的，即任意兩個實數(shù)a、b必定滿足并且只滿足下列三個關系之一：ab。

　　傳遞性

　　實數(shù)大小具有傳遞性，即若a>b，且b>c，則有a>c。

　　阿基米德性質(zhì)

　　實數(shù)具有阿基米德性質(zhì)(Archimedean property)，即∀a，b ∈R，若a>0，則∃正整數(shù)n，na>b。

　　稠密性

　　實數(shù)集R具有稠密性，即兩個不相等的實數(shù)之間必有另一個實數(shù)，既有有理數(shù)，也有無理數(shù).

　　數(shù)軸

　　如果在一條直線(通常為水平直線)上確定O作為原點，指定一個方向為正方向(通常把指向右的方向規(guī)定為正方向)，并規(guī)定一個單位長度，則稱此直線為數(shù)軸。任一實數(shù)都對應與數(shù)軸上的唯一一個點;反之，數(shù)軸上的每一個點也都唯一的表示一個實數(shù)。于是，實數(shù)集R與數(shù)軸上的點有著一一對應的關系。

　　完備性

　　作為度量空間或一致空間，實數(shù)集合是個完備空間，它有以下性質(zhì)：

　　一. 所有實數(shù)的柯西序列都有一個實數(shù)極限。

　　有理數(shù)集合就不是完備空間。例如，(1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...) 是有理數(shù)的柯西序列，但沒有有理數(shù)極限。實際上，它有個實數(shù)極限 。

　　實數(shù)是有理數(shù)的完備化——這亦是構造實數(shù)集合的一種方法。

　　極限的存在是微積分的基礎。實數(shù)的完備性等價于歐幾里德幾何的直線沒有“空隙”。

　　二. “完備的有序域”

　　實數(shù)集合通常被描述為“完備的有序域”，這可以幾種解釋。

　　首先，有序域可以是完備格。然而，很容易發(fā)現(xiàn)沒有有序域會是完備格。這是由于有序域沒有最大元素(對任意元素z，z+1將更大)。所以，這里的“完備”不是完備格的意思。

　　另外，有序域滿足戴德金完備性，這在上述公理中已經(jīng)定義。上述的唯一性也說明了這里的“完備”是指戴德金完備性的意思。這個完備性的意思非常接近采用戴德金分割來構造實數(shù)的方法，即從(有理數(shù))有序域出發(fā)，通過標準的方法建立戴德金完備性。

　　這兩個完備性的概念都忽略了域的結構。然而，有序群(域是種特殊的群)可以定義一致空間，而一致空間又有完備空間的概念。上述完備性中所述的只是一個特例。(這里采用一致空間中的完備性概念，而不是相關的人們熟知的度量空間的完備性，這是由于度量空間的定義依賴于實數(shù)的性質(zhì)。)當然，R 并不是唯一的一致完備的有序域，但它是唯一的一致完備的阿基米德域。實際上，“完備的阿基米德域”比“完備的有序域”更常見。可以證明，任意一致完備的阿基米德域必然是戴德金完備的(當然反之亦然)。這個完備性的意思非常接近采用柯西序列來構造實數(shù)的方法，即從(有理數(shù))阿基米德域出發(fā)，通過標準的方法建立一致完備性。

　　“完備的阿基米德域”最早是由希爾伯特提出來的，他還想表達一些不同于上述的意思。他認為，實數(shù)構成了最大的阿基米德域，即所有其他的阿基米德域都是 R 的子域。這樣 R 是“完備的”是指，在其中加入任何元素都將使它不再是阿基米德域。這個完備性的意思非常接近用超實數(shù)來構造實數(shù)的方法，即從某個包含所有(超實數(shù))有序域的純類出發(fā)，從其子域中找出最大的阿基米德域。

　　高級性質(zhì)

　　實數(shù)集是不可數(shù)的，也就是說，實數(shù)的個數(shù)嚴格多于自然數(shù)的個數(shù)(盡管兩者都是無窮大)。這一點，可以通過康托爾對角線方法證明。實際上，實數(shù)集的勢為 2ω(請參見連續(xù)統(tǒng)的勢)，即自然數(shù)集的冪集的勢。由于實數(shù)集中只有可數(shù)集個數(shù)的元素可能是代數(shù)數(shù)，絕大多數(shù)實數(shù)是超越數(shù)。實數(shù)集的子集中，不存在其勢嚴格大于自然數(shù)集的勢且嚴格小于實數(shù)集的勢的集合，這就是連續(xù)統(tǒng)假設。事實上這假設獨立于ZFC集合論，在ZFC集合論內(nèi)既不能證明它，也不能推出其否定。

　　所有非負實數(shù)的平方根屬于R，但這對負數(shù)不成立。這表明R 上的序是由其代數(shù)結構確定的。而且，所有奇數(shù)次多項式至少有一個根屬于 R。這兩個性質(zhì)使R成為實封閉域的最主要的實例。證明這一點就是對代數(shù)基本定理的證明的前半部分。

　　實數(shù)集擁有一個規(guī)范的測度，即勒貝格測度。

　　實數(shù)集的上確界公理用到了實數(shù)集的子集，這是一種二階邏輯的陳述。不可能只采用一階邏輯來刻畫實數(shù)集：1. Löwenheim–Skolem theorem定理說明，存在一個實數(shù)集的可數(shù)稠密子集，它在一階邏輯中正好滿足和實數(shù)集自身完全相同的命題;2. 超實數(shù)的集合遠遠大于 R，但也同樣滿足和 R一樣的一階邏輯命題。滿足和 R 一樣的一階邏輯命題的有序域稱為 R 的非標準模型。這就是非標準分析的研究內(nèi)容，在非標準模型中證明一階邏輯命題(可能比在R中證明要簡單一些)，從而確定這些命題在R 中也成立。

　　拓撲性質(zhì)

　　實數(shù)集構成一個度量空間：x 和 y 間的距離定為絕對值 |x - y|。作為一個全序集，它也具有序拓撲。這里，從度量和序關系得到的拓撲相同。實數(shù)集又是 1 維的可縮空間(所以也是連通空間)、局部緊致空間、可分空間、貝利空間。但實數(shù)集不是緊致空間。這些可以通過特定的性質(zhì)來確定，例如，無限連續(xù)可分的序拓撲必須和實數(shù)集同胚。以下是實數(shù)的拓撲性質(zhì)總覽：

　　i.令a 為一實數(shù)。a 的鄰域是實數(shù)集中一個包括一段含有 a 的線段的子集。

　　ii.R 是可分空間。

　　iii.Q 在 R 中處處稠密。

　　iv.R的開集是開區(qū)間的聯(lián)集。

　　v.R的緊子集是有界閉集。特別是：所有含端點的有限線段都是緊子集。

　　vi.每個R中的有界序列都有收斂子序列。

　　vii.R是連通且單連通的。

　　viii.R中的連通子集是線段、射線與R本身。由此性質(zhì)可迅速導出中間值定理。