- 第三章 代數(shù)初步知識

　　一、用字母表示數(shù)

　　1 用字母表示數(shù)的意義和作用

　　* 用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關系簡明的表達出來，同時也可以表示運算的結果。

　　2 用字母表示常見的數(shù)量關系、運算定律和性質、幾何形體的計算公式

　　(1)常見的數(shù)量關系

　　路程用 s 表示，速度 v 用表示，時間用 t 表示，三者之間的關系：

　　s=vt

　　v=s/t

　　t=s/v

　　總價用 a 表示，單價用 b 表示，數(shù)量用 c 表示，三者之間的關系:

　　a=bc

　　b=a/c

　　c=a/b

　　(2)運算定律和性質

　　加法交換律：a+b=b+a

　　加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)

　　乘法交換律：ab=ba

　　乘法結合律：(ab)c=a(bc)

　　乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

　　減法的性質：a-(b+c) =a-b-c

　　(3)用字母表示幾何形體的公式

　　長方形的長用 a 表示，寬用 b 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。

　　c=2(a+b)

　　s=ab

　　正方形的邊長 a 用表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。

　　c=4a

　　s=a² 平行四邊形的底 a 用表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。

　　s=ah

　　三角形的底用 a 表示，高用 h 表示，面積用 s 表示。

　　s=ah/2

　　梯形的上底用 a 表示，下底 b 用表示，高用 h 表示，中位線用 m 表示，面積用 s 表示。

　　s=(a+b)h/2

　　s=mh

　　圓的半徑用 r 表示，直徑用 d 表示，周長用 c 表示，面積用 s 表示。

　　c=∏d=2∏r s=∏ r² 扇形的半徑用 r 表示，n 表示圓心角的度數(shù)，面積用 s 表示。

　　s=∏ nr²/360

　　長方體的長用 a 表示，寬用 b 表示，高用 h 表示，表面積用 s 表示，體積用 v 表示。

　　v=sh

　　s=2(ab+ah+bh)

　　v=abh

　　正方體的棱長用 a 表示，底面周長 c 用表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示.

　　s=6a² v=a³ 圓柱的高用 h 表示，底面周長用 c 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. s 側=ch

　　s 表=s 側+2s 底

　　v=sh

　　圓錐的高用 h 表示，底面積用 s 表示， 體積用 v 表示. v=sh/3

　　3 用字母表示數(shù)的寫法

　　數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作“.”，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。

　　當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

　　在一個問題中，同一個字母表示同一個量，不同的量用不同的字母表示。

　　用含有字母的式子表示問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，如果式子中有加號或者減號，要

　　先用括號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

　　4 將數(shù)值代入式子求值

　　* 把具體的數(shù)代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把

　　數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫單位名稱。

　　* 同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。

　　二、簡易方程

　　(一)方程和方程的解

　　1 方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

　　注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。
方程和算術式不同。算術式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時 ，方程才成立 。

　　2 方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

　　三、解方程

　　解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

　　四、列方程解應用題

　　1 列方程解應用題的意義

　　* 用方程式去解答應用題求得應用題的未知量的方法。

　　2 列方程解答應用題的步驟

　　* 弄清題意，確定未知數(shù)并用 x 表示;

　　* 找出題中的數(shù)量之間的相等關系;

　　* 列方程，解方程;

　　* 檢查或驗算，寫出答案。

　　3 列方程解應用題的方法

　　* 綜合法：先把應用題中已知數(shù)(量)和所設未知數(shù)(量)列成有關的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種 思維過程，其思考方向是從已

　　知到未知。

　　* 分析法：先找出等量關系，再根據(jù)具體建立等量關系的需要，把應用題中已知數(shù)(量)和

　　所設的未知數(shù)(量)列成有關的代數(shù)式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，

　　其思考方向是從未知到已知。

　　4 列方程解應用題的范圍

　　小學范圍內常用方程解的應用題：

　　a 一般應用題;

　　b 和倍、差倍問題;

　　c 幾何形體的周長、面積、體積計算;

　　d 分數(shù)、百分數(shù)應用題;

　　e 比和比例應用題。

　　五 比和比例

　　1 比的意義和性質

　　(1) 比的意義

　　兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

　　“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的

　　前項除以后項所得的商，叫做比值。

　　同除法比較，比的前項相當于被除數(shù)，后項相當于除數(shù)，比值相當于商。

　　比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時也可能是整數(shù)。

　　比的后項不能是零。

　　根據(jù)分數(shù)與除法的關系，可知比的前項相當于分子，后項相當于分母，比值相當于分數(shù)值。

　　(2)比的性質

　　比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)(0 除外)，比值不變，這叫做比的基本性質。

　　(3) 求比值和化簡比

　　求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分

　　數(shù)。

　　根據(jù)比的基本性質可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結果必須是一個最簡比，即前、后項

　　是互質的數(shù)。

　　(4)比例尺

　　圖上距離：實際距離=比例尺

　　要求會求比例尺;已知圖上距離和比例尺求實際距離;已知實際距離和比例尺求圖上距離。

　　線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應的實際距離。

　　(5)按比例分配

　　在農業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分配。這種分配的方法

　　通常叫做按比例分配。

　　方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

　　2 比例的意義和性質

　　(1) 比例的意義

　　表示兩個比相等的式子叫做比例。

　　組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。

　　兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內項。

　　(2)比例的性質

　　在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內向的積。這叫做比例的基本性質。

　　(3)解比例

　　根據(jù)比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未

　　知項。求比例中的未知項，叫做解比例。

　　3 正比例和反比例

　　(1) 成正比例的量

　　兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的比

　　值(也就是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關系叫做正比例關系。

　　用字母表示 y/x=k(一定)

　　(2)成反比例的量

　　兩種相關聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應的兩個數(shù)的積

　　一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關系叫做反比例關系。

　　用字母表示 x×y=k(一定)

　　第四章 幾何的初步知識

　　一 線和角

　　(1)線

　　* 直線

　　直線沒有端點;長度無限;過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。

　　* 射線

　　射線只有一個端點;長度無限。

　　* 線段

　　線段有兩個端點，它是直線的一部分;長度有限;兩點的連線中，線段為最短。

　　* 平行線

　　在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。

　　兩條平行線之間的垂線長度都相等。

　　* 垂線

　　兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線, 相交的點叫做垂足。

　　從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

　　(2)角

　　(1)從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做

　　角的邊。

　　(2)角的分類

　　銳角：小于 90°的角叫做銳角。

　　直角：等于 90°的角叫做直角。

　　鈍角：大于 90°而小于 180°的角叫做鈍角。

　　平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角 180°。

　　周角：角的一邊旋轉一周，與另一邊重合。周角是 360°。

　　二 平面圖形

　　1 長方形

　　(1)特征

　　對邊相等，4 個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

　　(2)計算公式

　　c=2(a+b)

　　s=ab

　　2 正方形

　　(1)特征：

　　四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有 4 條對稱軸。

　　(2)計算公式

　　c=4a

　　s=a² 3、三角形

　　(1)特征

　　由三條線段圍成的圖形。內角和是 180 度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

　　(2)計算公式

　　s=ah/2

　　(3) 分類

　　按角分

　　銳角三角形 ：三個角都是銳角。

　　直角三角形 ：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為 45 度，它有一條對稱軸。

　　鈍角三角形：有一個角是鈍角。

　　按邊分

　　不等邊三角形：三條邊長度不相等。

　　等腰三角形：有兩條邊長度相等;兩個底角相等;有一條對稱軸。

　　等邊三角形：三條邊長度都相等;三個內角都是 60 度;有三條對稱軸。

　　4、平行四邊形

　　(1) 特征

　　兩組對邊分別平行的四邊形。

　　相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為 180 度。平行四邊形容易變形。

　　(2) 計算公式

　　s=ah

　　5 、梯形

　　(1)特征

　　只有一組對邊平行的四邊形。

　　中位線等于上下底和的一半。

　　等腰梯形有一條對稱軸。

　　(2) 公式

　　s=(a+b)h/2=mh

　　6 、圓

　　(1) 圓的認識

　　平面上的一種曲線圖形。

　　圓中心的一點叫做圓心。一般用字母 o 表示。

　　半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用 r 表示。

　　在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。

　　通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用 d 表示。

　　同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。

　　同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即 d=2r。

　　圓的大小由半徑?jīng)Q定。 圓有無數(shù)條對稱軸。

　　(2)圓的畫法

　　把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離(即半徑);

　　把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上;

　　把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉一周，就畫出一個圓。

　　(3) 圓的周長

　　圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

　　把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

　　(4) 圓的面積

　　圓所占平面的大小叫做圓的面積。

　　(5)計算公式

　　d=2r

　　r=d/2

　　c=∏d

　　c=2∏r s=∏r²

　　7、扇形

　　(1) 扇形的認識

　　一條弧和經(jīng)過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

　　圓上 AB 兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧 AB”。

　　頂點在圓心的角叫做圓心角。

　　在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關。

　　扇形有一條對稱軸。

　　(2) 計算公式

　　s=n∏r²/360

　　8、環(huán)形

　　(1) 特征

　　由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對稱軸。

　　(2) 計算公式

　　s=∏(R²-r²)

　　9、軸對稱圖形

　　(1) 特征

　　如果一個圖形沿著一條直線對折，兩側的圖形能夠完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折

　　痕所在的這條直線叫做對稱軸。

　　正方形有 4 條對稱軸， 長方形有 2 條對稱軸。

　　等腰三角形有 2 條對稱軸，等邊三角形有 3 條對稱軸。

　　等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

　　菱形有 4 條對稱軸，扇形有一條對稱軸。

　　三 立體圖形

　　(一)長方體

　　1 特征

　　六個面都是長方形(有時有兩個相對的面是正方形)。

　　相對的面面積相等，12 條棱相對的 4 條棱長度相等。

　　有 8 個頂點。

　　相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

　　兩個面相交的邊叫做棱。

　　三條棱相交的點叫做頂點。

　　把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

　　長方體或者正方體 6 個面的總面積，叫做它的表面積。

　　2 計算公式

　　s=2(ab+ah+bh)

　　V=sh

　　V=abh

　　(二)正方體

　　1 特征

　　六個面都是正方形

　　六個面的面積相等

　　12 條棱，棱長都相等

　　有 8 個頂點

　　正方體可以看作特殊的長方體

　　2 計算公式

　　S 表=6a²

　　v=a³
(三)圓柱

　　1 圓柱的認識

　　圓柱的上下兩個面叫做底面。

　　圓柱有一個曲面叫做側面。

　　圓柱兩個底面之間的距離叫做高 。

　　進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結果多一些 ，因此，要保留數(shù)的時候，省略的

　　位上的是 4 或者比 4 小，都要向前一位進 1。這種取近似值的方法叫做進一法。

　　2 計算公式

　　s 側=ch

　　s 表=s 側+s 底×2

　　v=sh/3

　　(四)圓錐

　　1 圓錐的認識

　　圓錐的底面是個圓，圓錐的側面是個曲面。

　　從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

　　測量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面，豎直地量出

　　平板和底面之間的距離。

　　把圓錐的側面展開得到一個扇形。 2 計算公式

　　v= sh/3

　　(五)球

　　1 認識

　　球的表面是一個曲面，這個曲面叫做球面。

　　球和圓類似，也有一個球心，用 O 表示。

　　從球心到球面上任意一點的線段叫做球的半徑，用 r 表示，每條半徑都相等。

　　通過球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用 d 表示,每條直徑都相等,直徑的長

　　度等于半徑的 2 倍，即 d=2r。

　　2 計算公式

　　
第五章 簡單的統(tǒng)計

　　一 統(tǒng)計表

　　(一)意義

　　* 把統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫在一定格式的表格內，用來反映情況、說明問題，這樣的表格就叫做統(tǒng)

　　計表。

　　(二)組成部分

　　* 一般分為表格外和表格內兩部分。表格外部分包括標的名稱，單位說明和制表日期;表

　　格內部包括表頭、橫標目、縱標目和數(shù)據(jù)四個方面。

　　(三)種類

　　* 單式統(tǒng)計表：只含有一個項目的統(tǒng)計表。

　　* 復式統(tǒng)計表：含有兩個或兩個以上統(tǒng)計項目的統(tǒng)計表。

　　* 百分數(shù)統(tǒng)計表：不僅表明各統(tǒng)計項目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當于標準量的百分比

　　的統(tǒng)計表。

　　(四)制作步驟

　　1 搜集數(shù)據(jù)

　　2 整理數(shù)據(jù)：

　　要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計的內容，對數(shù)據(jù)進行分類。

　　3 設計草表：

　　要根據(jù)統(tǒng)計的目的和內容設計分欄格內容、分欄格畫法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長

　　度。

　　4 正式制表：

　　把核對過的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡單、明確的語言寫上統(tǒng)計表的名稱和制表

　　日期。

　　二 統(tǒng)計圖

　　(一)意義

　　* 用點線面積等來表示相關的量之間的數(shù)量關系的圖形叫做統(tǒng)計圖。

　　(二)分類

　　1 條形統(tǒng)計圖

　　用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫成長短不同的直條，然后把這些直線按

　　照一定的順序排列起來。

　　優(yōu)點：很容易看出各種數(shù)量的多少。

　　注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同。

　　取一個單位長度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定;

　　復式條形統(tǒng)計圖中表示不同項目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開，并在制圖日期下面

　　注明圖例。

　　制作條形統(tǒng)計圖的一般步驟:

　　(1)根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

　　(2)在水平射線上，適當分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

　　(3)在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

　　(4)按照數(shù)據(jù)的大小畫出長短不同的直條，并注明數(shù)量。

　　2 折線統(tǒng)計圖

　　用一個單位長度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點，然后把各點用線段順次連接起來。

　　優(yōu)點：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。

　　注意：折線統(tǒng)計圖的橫軸表示不同的年份、月份等時間時，不同時間之間的距離要根據(jù)年份

　　或月份的間隔來確定。

　　制作折線統(tǒng)計圖的一般步驟:

　　(1)根據(jù)圖紙的大小，畫出兩條互相垂直的射線。

　　(2)在水平射線上，適當分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

　　(3)在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長度表示多少。

　　(4)按照數(shù)據(jù)的大小描出各點，再用線段順次連接起來，并注明數(shù)量。

　　3、扇形統(tǒng)計圖

　　用整個圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分數(shù)。

　　優(yōu)點：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關系。

　　制扇形統(tǒng)計圖的一般步驟：

　　(1)先算出各部分數(shù)量占總量的百分之幾。

　　(2)再算出表示各部分數(shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

　　(3)取適當?shù)陌霃疆嬕粋€圓，并按照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫出各個扇形

　　(4)在每個扇形中標明所表示的各部分數(shù)量名稱和所占的百分數(shù)，并用不同顏色或條紋把

　　各個扇形區(qū)別開。