《變量間的相關(guān)關(guān)系》教學(xué)設(shè)計

　　3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推導(dǎo)。會求回歸方程，相關(guān)系數(shù)。

　　[教學(xué) 實 踐情況]：

　　一、 問題引出：請同學(xué)們?nèi)鐚嵦顚懴卤?在空格中打“√” )

　　然后回答如下問題：①“你的數(shù)學(xué)成績對你的物理成績有無影響?”②“ 如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你 的物理成績也不會太差，如果你的數(shù)學(xué)成績差，那么你的物理成績也不會太好。”對你來說，是這樣嗎?同意這種說法的同學(xué)請舉手。

　　根據(jù)同學(xué)們回答的結(jié)果，讓學(xué)生討論：我們可以發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)成績和物理成績存在某種關(guān)系。(似乎就是數(shù)學(xué)好的，物理也好; 數(shù)學(xué)差的，物理也差，但又不全對。)教師總結(jié)如下：

　　物理成績和數(shù)學(xué)成績是兩個變量，從經(jīng)驗看，由于物理學(xué)習(xí)要用到比較多的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法。數(shù)學(xué)成績的高低對物理成績的高低是有一定影響的。但決非唯一因素，還有其它因素，如圖所示(幻燈片給出)：

　　因此，不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地斷定他的物理成績能達(dá)到多少。但這兩個變量是有一定關(guān)系的，它們之間是一種不確定性的關(guān)系。如何通過數(shù)學(xué)成績的結(jié)果對物理成績 進(jìn)行合理估計有非常重要的現(xiàn)實意義。

　　二、 引出相關(guān)關(guān)系的概念

　　教師提問：“像剛才這種情況在現(xiàn)實生活中是否還有?”

　　學(xué)生甲：糧食產(chǎn)量與施肥用量的關(guān)系;

　　學(xué)生乙：人的體重與食肉數(shù)量的關(guān)系。

　　……

　　從而得出：兩個變量之間的關(guān)系可能是確定的關(guān)系(如：函數(shù)關(guān)系)，或非確定性關(guān)系。當(dāng)自變量取值一定時，因變量也確定，則為確定關(guān)系;當(dāng)自變量取值一定時，因變量帶有隨機(jī)性，這種變量之間的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系。

　　三、探究線性相關(guān)關(guān)系和其他相關(guān)關(guān)系

　　問題：在一次對人體脂肪和年齡關(guān)系的研究中，研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù)：

　　人體的脂肪百分比和年齡

　　針對于上述數(shù)據(jù)所提供的信息，你認(rèn)為人體的脂肪含量與年齡之間有怎樣的關(guān)系?教師特別向?qū)W生 強(qiáng)調(diào)在研究兩個變量之間是否存在某種關(guān)系時，必須從散點圖入手(向?qū)W生介紹什么是散點圖)。并且引導(dǎo)學(xué)生從散點圖上可以得出如下規(guī)律：

　　1、如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線上，那么變量之間具有函數(shù)關(guān)系(確定性關(guān)系);

　　2、如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)曲線的附近，那么變量之間具有相關(guān)關(guān)系(不確定性關(guān)系);

　　3、如果所有的樣本點都落在某一直線附近，那么變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系(不確定性關(guān)系)。

　　引導(dǎo)學(xué)生觀察作出的散點圖，體會現(xiàn)實生活中兩個變量之間的關(guān)系存在著不確定性。散點圖中的散點并不在一條直線上，只是分布在一條直線的周圍，即為線性相關(guān)關(guān)系。

　　注：“回歸”這個詞是有英國著名的統(tǒng)計學(xué)家 Francils Galton 提出來的。1889年，他在研究祖先與后代身高之間的關(guān)系時發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們的父母平均身高高;身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們的父母平均身高高。Galton 把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢稱為“回歸現(xiàn)象”。后來，人們把由一個變量的變化去推測另一個變量的變化的方法稱為“回歸方法”。

　　那么如何求回歸直線方程呢?人們在思考這個問題的時候，常用以下3種方法：

　　1、采用測量的方法，先畫一條直線，測量出各點到它的距離，然后移動直線，到達(dá)一個使距離之和最小的位置，測量出此時直線的斜率和截距，就得到回歸方程。

　　2、在圖中選取兩點畫直線，使得直線兩側(cè)的點的個數(shù)基本相同。

　　3、在散點圖中多取幾個點，確定幾條直線的方程，分別求出各條直線的斜率和截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為回歸方程的斜率和截距。

　　上面的這些方法雖然有一定的道理，但總讓人感覺到可靠性不強(qiáng)。統(tǒng)計學(xué)中，科學(xué)家們經(jīng)過研究后于是得出了如下方法：求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來刻畫“從整體上看各點與此直線的距離和最小”。現(xiàn)在，我們來看一下數(shù)學(xué)家解決這個問題的思維過程吧。

　　設(shè)已經(jīng)得到具有線性相關(guān)關(guān)系的一組數(shù)據(jù)： ，所要求的回歸直線方程為： ，其中， 是待定的系數(shù)。當(dāng)變量 取 時，可以得到 。求 的最小值，其步驟為：

　　四、相關(guān)系數(shù)及其含義

　　從圖象和回歸方程可知：人的脂肪含量與人的年齡是正相關(guān)關(guān)系，那么人的年齡多大程度上決定人體的脂肪含量?這就是相關(guān)強(qiáng)弱的問題。如何解決這一問題，統(tǒng)計學(xué)家們引進(jìn)相關(guān)系數(shù)這一概念，用相關(guān)系數(shù) 來衡量兩個變量之間的線性關(guān)系的強(qiáng)弱。若相應(yīng)于變量 的取值 ，變量 的觀測值為 ，

　　則兩個變量的相關(guān)系數(shù)的計算公式為：

　　相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱給出具體的判斷標(biāo)準(zhǔn)：首先 的符號決定正、負(fù)相關(guān)關(guān)系;當(dāng) 時，相關(guān)關(guān)系很強(qiáng);當(dāng) 時，相關(guān)關(guān)系一般;此外，相關(guān)關(guān)系很弱或者幾乎不能用線性相關(guān)來描述。通過計算，我們得到探究問題中的 ，所以我們說人的脂肪含量與人的年齡正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)。

　　最后，我們得到問題的主要結(jié)論：

　　1、 人體的脂肪與年齡之間是線性相關(guān)關(guān)系，而且正相關(guān)關(guān)系很強(qiáng)( )。

　　2、這種相關(guān)關(guān)系可以用回歸方程： 來刻畫。

　　3、人在62、63、64歲時，人體的脂肪含量百分比大約為：35.26、35.84、36.42。

　　六、求直線回歸方程，相關(guān)系數(shù)和作圖,這些EXCEL 可以方便地做到。仍以上題的數(shù)據(jù)為例。于 EXCEL表 中的空白區(qū)，選用"插入"菜單命令中的"圖表"，選中 XY散 點圖類型，在彈出的圖表向?qū)е邪聪驅(qū)У囊笠徊揭徊降?操作，如有錯誤可以返回去重來或在以后修改。適當(dāng)修飾 圖的大小、縱橫比例、字體大小、和圖符的大小等，使圖 美觀，最后得到圖1，圖中有直線稱為趨勢線，還有直線方程和相關(guān)系數(shù)。圖中的每一個部份如坐標(biāo)、標(biāo)題、圖例 等都可以分別修飾，這里主要介紹趨勢線和直線方程。

　　圖1散點圖

　　鼠標(biāo)右鍵點擊圖中的數(shù)據(jù)點，出現(xiàn)一個對話框，選 " 添加趨勢線" ，圖中自動畫上一條直線，再以鼠標(biāo)右擊此線，出現(xiàn)趨勢線格 式對話框，選擇線條的粗細(xì)和顏色，在選項中選取顯示公式和顯示R 平方值，確定后即在 圖中顯示回歸方程和相關(guān)系數(shù)。

　　小結(jié)：經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。

　　《變量間的相關(guān)關(guān)系》知識點總結(jié)

　　一、變量間的相關(guān)關(guān)系

　　1.常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系;與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系.

　　2.從散點圖上看，點分布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)，點分布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān).

　　二、兩個變量的線性相關(guān)

　　1.從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫回歸直線.

　　當(dāng)r>0時，表明兩個變量正相關(guān);

　　當(dāng)r<0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān).

　　r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對值越接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.

　　三、解題方法

　　1.相關(guān)關(guān)系的判斷方法一是利用散點圖直觀判斷，二是利用相關(guān)系數(shù)作出判斷.

　　2.對于由散點圖作出相關(guān)性判斷時，若散點圖呈帶狀且區(qū)域較窄，說明兩個變量有一定的線性相關(guān)性，若呈曲線型也是有相關(guān)性.

　　3.由相關(guān)系數(shù)r判斷時|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).

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