2016年高三數(shù)學(xué)期末模擬試題
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2016年高三數(shù)學(xué)期末模擬試題
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1. 已知復(fù)數(shù) 滿(mǎn)足 ，那么復(fù)數(shù) 的虛部為( )
A. 1 B. C. D.
2. 已知 ， ，則 ( )
A. B. C. D.
3. 下列四個(gè)命題中，假命題為( )
A. 存在 ，使 B.存在 ，使
C. 任意 ，使 D. 任意 ，使
4. 已知向量 ， ，若A，B，C是銳角 的三個(gè)內(nèi)角，則 與 的夾角為( )
A.銳角 B. 直角 C. 鈍角 D. 以上都不對(duì)
5. 從一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體中切去一部分，得到一個(gè)幾何體，其三視圖如下圖，則該幾何體的體積為( )
A. B. C. D.
6. 執(zhí)行如下圖所示的程序框圖，則輸出 的結(jié)果是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
7. 定義運(yùn)算 * ，則函數(shù) 的圖像是( )
8. 已知數(shù)組 ， ，…， 滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸方程 ，則“ 滿(mǎn)足線(xiàn)性回歸方程 ”是“ ， ”的( )
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
9. 若圓 ： 關(guān)于直線(xiàn) 對(duì)稱(chēng)，則 的最小值是( )
A. 2 B. C. D.
10. 如圖，是中國(guó)西安世界園藝博覽會(huì)某區(qū)域的綠化美化示意圖，其中A、B、C、D是被劃分的四個(gè)區(qū)域，現(xiàn)用紅、黃、藍(lán)、白4種不同顏色的花選栽，要求每個(gè)區(qū)域只能栽同一種花，允許同一顏色的花可以栽在不同的區(qū)域，但相鄰的區(qū)域不能栽同一色花，則A、D兩個(gè)區(qū)域都栽種紅花的概率是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)
二、填空題：(本小題共5小題，每小題5分，共25分，將答案填寫(xiě)在題中的橫線(xiàn)上)
11. 在二項(xiàng)式 的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為 ，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為 ，且
，則 .
12. 設(shè) 是定義在R上最小正周期為 的函數(shù)，且在 上 ，則 的值為 .
13. 有一個(gè)奇數(shù)列1, 3, 5, 7, 9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組：第一組含一個(gè)數(shù) ，第二組含兩個(gè)數(shù) ，第三組含三個(gè)數(shù) ，第四組含四個(gè)數(shù) ，…，現(xiàn)觀察猜想每組內(nèi)各數(shù)之和為 與其組的編號(hào)數(shù) 的關(guān)系為 .
14. 設(shè)橢圓 的中心、右焦點(diǎn)、右頂點(diǎn)依次分別為 、 、 ，且直線(xiàn) 與 軸相交于點(diǎn) ，則 最大時(shí)橢圓的離心率為 .
15. (考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝腥涝囶}中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題評(píng)閱記分)
A.(不等式選做題)若不等式 對(duì)一切非零實(shí)數(shù) 恒成立，則實(shí)數(shù) 的取值范圍為 .
B.(幾何證明選做題)如右圖，直角三角形 中， ， ，以 為直徑的圓交 邊于點(diǎn) ， ，則 的大小為 .
C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程選做題)若直線(xiàn) 的極坐標(biāo)方程為 ，圓 ： ( 為參數(shù))上的點(diǎn)到直線(xiàn) 的距離為 ，則 的最大值為 .
三、解答題：(本大題共6小題，共75分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.)
16. (本大題滿(mǎn)分12分)
已知函數(shù) (其中 )的圖像如圖所示.
(1)求函數(shù) 的解析式;
(2)求函數(shù) 的零點(diǎn).
17.(本大題滿(mǎn)分12分)
已知等比數(shù)列 中， 是 與 的等差中項(xiàng)，且 ， .
(1)求數(shù)列 的通項(xiàng)公式;
(2)已知數(shù)列 滿(mǎn)足： ，( )，求數(shù)列 前 項(xiàng)和
18. (本小題滿(mǎn)分12分)
如圖直三棱柱 中， ， 是 上一點(diǎn)，且 平面 .
(1)求證： 平面 ;
(2)在棱 是否存在一點(diǎn) ，使平面 與平面 的夾角等于 ，若存在，試確定 點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
19.(本小題滿(mǎn)分12分)
某批發(fā)市場(chǎng)對(duì)某種商品的日銷(xiāo)售量(單位：噸)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：
若以下表頻率作為概率，且每天的銷(xiāo)售量相互獨(dú)立.
日銷(xiāo)售量 1 1.5 2
頻數(shù) 10 25 15
頻率 0.2
(1)求 的值
(2)5天中該種商品恰好有2天的銷(xiāo)售量為1.5噸的概率;
(3)已知每噸該商品的銷(xiāo)售利潤(rùn)為2千元， 表示該種商品兩天銷(xiāo)售利潤(rùn)的和(單位：千元)，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望
20.(本小題滿(mǎn)分13分)
已知拋物線(xiàn) ，過(guò)點(diǎn) (其中 為正常數(shù))任意作一條直線(xiàn) 交拋物線(xiàn) 于 兩點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求 的值;
(2)過(guò) 分別作拋物線(xiàn) 的切線(xiàn) ，試探求 與 的交點(diǎn)是否在定直線(xiàn)上，證明你的結(jié)論.
21. (本小題滿(mǎn)分14分)
已知函數(shù) ， .
(1)若直線(xiàn) 交 的圖像 于 兩點(diǎn)，與 平行的另一條直線(xiàn) 切圖像于 ，求證： 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列;
(2)若不等式 恒成立，求 的取值范圍;
(3)求證： (其中 為無(wú)理數(shù)，約為2.71828).
2016年高三數(shù)學(xué)期末模擬試題答案
一、選擇題
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D A C B D B A A
二. 填空題
11. ; 12. ; 13. ; 14. ;
15.A. ;B. ; C. .
三、解答題
16.解：(Ⅰ)由圖知 , ,
∴ ……………3分
∴ 又∵
∴sin( )=1, ∴ = ,j= + ,(kÎZ)
∵ ,∴j=
∴函數(shù)的解析式為 ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知： ，
∴ ……………9分
即
∴函數(shù) 的零點(diǎn)為 ……………12分
17.解：(I)由已知得
……………6分
(II)當(dāng) 時(shí) ，
因?yàn)?/p>
當(dāng) ≥ 時(shí)
兩式相減得 ，得 . ……………10分
……………12分
18.證明：(Ⅰ)∵ 平面 ，∴ .
∵ 是直三棱柱，∴ 平面 ，∴ .
∵ ， 平面 , 平面 ,
∴ 平面 . ……………6分
(Ⅱ) 平面 .∴ .又 ，于是可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 .∵ 是等腰直角三角形，且斜邊 ，
∴ .
從而，
設(shè)存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn) 坐標(biāo)為
由(Ⅰ)知平面 的法向量 = , …6分
令平面 的法向量
，
令 得 .
平面 與平面 的夾角等于
∴ ，的
所以當(dāng) 為棱 中點(diǎn)時(shí)平面 與平面 的夾角等于 . ……………12分
19.解：(I)表中 ……………2分
(II)依照題意得一天的銷(xiāo)售量為1.5噸的概率
5天中該種商品恰好有 天的銷(xiāo)售量為1.5，則
……………6分
(Ⅲ) 的取值為4,5,6，7,8
; ;
; ;
……………9分
的分布列為
4 5 6 7 8
0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
……………12分
20.解：(Ⅰ)設(shè)直線(xiàn) 方程為 ，
消去 得 ，所以
=
故 . ……………6分
(Ⅱ)
方程為 整理得
同理得 方程為 ……………9分
聯(lián)立方程
得 ，
故 的交點(diǎn)在定直線(xiàn) 上. ……………13分
21.解：(Ⅰ)設(shè)切點(diǎn) 的橫坐標(biāo)為 , 點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為 ;
因?yàn)?，所以 ;令 方程為
消去 得 ，當(dāng) 時(shí)
，所以 三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. ……………4分
(Ⅱ)令 ， ，
令 ，得 ，所以 的減區(qū)間為 ，增區(qū)間為 ， = ，只要 即可，
得 且 ，即 . ……………10分
(Ⅲ) 由(Ⅱ)得 ，即 ，所以
……………14分