掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關(guān)系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關(guān)直線與圓的問題。以下是學(xué)習(xí)啦小編整理了高二數(shù)學(xué)教案：直線和圓的位置關(guān)系，希望對你的學(xué)習(xí)有幫助。

　　教學(xué)目的

　　〖知識目標(biāo)〗

　　1.掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關(guān)系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關(guān)直線與圓的問題。

　　2.在解決直線與圓的位置關(guān)系的問題時,常通過”數(shù)”與”形”的結(jié)合,充分利用圓心的幾何性質(zhì)、簡化運算.如利用圓心到直線的距離討論直線與圓的位置關(guān)系,利用過切點的半徑、弦心距及半徑構(gòu)成的三角形去解決與弦長有關(guān)的問題.

　　〖能力目標(biāo)〗 培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想、多方位多渠道解決問題能力。

　　教學(xué)重點與難點

　　重點：三種位置關(guān)系的判斷方法、過一點的圓的切線的求法以及弦長問題的解決方法，即圓心到直線的距離在圓與直線關(guān)系問題中的運用。

　　難點：利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題、解決問題。

　　教學(xué)過程:

　　一、 課堂引入：

　　前面我們復(fù)習(xí)了圓的方程、點與圓的位置關(guān)系，這課我們復(fù)習(xí)用圓的方程來解決直線與圓的位置關(guān)系。請先做以下練習(xí)(教師巡堂以便了解課下預(yù)習(xí)情況)

　　(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關(guān)系

　　(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

　　(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

　　(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

　　(這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學(xué)生快速運算，然后提問結(jié)果)

　　二、 知識梳理:

　　提出問題:直線與圓有幾種位置關(guān)系,用什么方法來判斷?

　　1 .直線和圓位置關(guān)系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯(lián)立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關(guān)系.

　　①Δ>0，直線和圓相交.

　?、?Delta;=0，直線和圓相切.

　　③Δ<0，直線和圓相離.

　　方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

　?、賒

　?、赿=R，直線和圓相切.

　?、踕>R，直線和圓相離.

　　2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關(guān)系，再用切線的性質(zhì)求方程。

　　1)若點p(x ，y )在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為(x-a)(x-a)+(y-b)(y -b)= r

　　2)若點p(x0，y0)在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程(斜率不存在的切線方程不要遺漏).

　　3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

　　(師生一起歸納,并由教師板書)

　　三、例題解析:

　　例1.(1).設(shè)m>0，則直線 (x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m(m>0)的位置關(guān)系為

　　A.相切 B.相交

　　C.相切或相離 D.相交或相切

　　解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

　　∵d-r= - = (m-2 +1)= ( -1)2≥0，

　　∴直線與圓的位置關(guān)系是相切或相離.

　　答案：C

　　(2).圓x2+y2-4x+4y+6=0截直線x-y-5=0所得的弦長等于

　　A. B. C.1 D.5

　　解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

　　答案：A

　　(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關(guān)系問題中的重要地位)

　　例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

　　解:設(shè)圓的方程為: (x-a)2+(y-b)2=r 則由條件①得 =r (1)

　　又由②得a +1=r (2)

　　又由③得 (3)

　　聯(lián)立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

　　所求圓的方程為: (x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2

　　(這是早幾年的一道高考題,在高考復(fù)習(xí)中經(jīng)常作為典型例題來用,我的學(xué)生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結(jié)合圖形來分析解決.由于學(xué)生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學(xué)生面對這類問題時積極應(yīng)對,常規(guī)方法入手,運算要快而準(zhǔn)確)

　　例3 已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)

　　(1)證明：不論m取什么實數(shù)，直線l與圓恒交于兩點;

　　(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

　　剖析：直線過定點，而該定點在圓內(nèi)，此題便可解得

　　(先由學(xué)生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數(shù)的直線方程入手思考)

　　(1)證明：l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

　　x+y-4=0， y=1，

　　即l恒過定點A(3，1).

　　∵圓心C(1，2)，|AC|= <5(半徑)，

　　∴點A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

　　(2)解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC=- ，

　　∴l的方程為2x-y-5=0.

　　思悟小結(jié)

　　1.直線和圓的位置關(guān)系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小;代數(shù)法，看直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的個數(shù).

　　2.解決直線與圓的位置關(guān)系的有關(guān)問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質(zhì)使問題簡化

　　【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A(1，2)，要使過定點A(1，2)作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

　　解：將圓的方程配方得(x+ )2+(y+1)2= ，圓心C的坐標(biāo)為(- ，-1)，半徑r= ，

　　條件是4-3a2>0，過點A(1，2)所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

　　> .

　　化簡得a2+a+9>0.

　　a2+a+9>0，

　　∴-

　　故a的取值范圍是(- ， )

　　(確定參數(shù)的解析幾何問題是學(xué)生最薄弱的環(huán)節(jié),此題的選擇一方面是鞏固本節(jié)課的內(nèi)容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

　　四﹑課堂小練

　　1.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

　　A.(4，6) B.[4，6) C.(4，6] D.[4，6]

　　解析：數(shù)形結(jié)合法解.

　　答案：A

　　2.(2003年春季北京)已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為|a|、|b|、|c|的三角形

　　A.是銳角三角形 B.是直角三角形

　　C.是鈍角三角形 D.不存在

　　解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由|a|、|b|、|c|構(gòu)成的三角形為直角三角形.

　　答案：B

　　3.(2005年春季北京，11)若圓x2+y2+mx- =0與直線y=-1相切，且其圓心在y軸的左側(cè)，則m的值為____________.

　　解析：圓方程配方得(x+ )2+y2= ，圓心為(- ，0).

　　由條件知- <0，即m>0.

　　又圓與直線y=-1相切，則0-(-1)= ，即m2=3，∴m= .

　　答案：

　　4.(2004年福建，13)直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦長等于____________.

　　解析：由x2+y2-6x-2y-15=0，得(x-3)2+(y-1)2=25.

　　知圓心為(3，1)，r=5.

　　由點(3，1)到直線x+2y=0的距離d= = .

　　可得 弦長為2 ，弦長為4 .

　　答案：4

　　5.自點A(-3，3)發(fā)出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

　　解：圓(x-2)2+(y-2)2=1關(guān)于x軸的對稱方程是(x-2)2+(y+2)2=1.

　　設(shè)l方程為y-3=k(x+3)，由于對稱圓心(2，-2)到l距離為圓的半徑1，從而可得k1=- ，k2=- .故所求l的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

　　6.已知M(x0，y0)是圓x2+y2=r2(r>0)內(nèi)異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關(guān)系?

　　分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

　　解：圓心O(0，0)到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

　　∵P(x0，y0)在圓內(nèi)，∴

　　則有d>r，故直線和圓相離.

　　(課堂練習(xí)由多媒體投影給出,學(xué)生練完后,打出正確答案和解答過程)

　　五﹑課堂小結(jié)

　　1.有關(guān)直線和圓的位置關(guān)系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

　　2.當(dāng)直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構(gòu)成的直角三角形;與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構(gòu)成的直角三角形.

　　3.有關(guān)圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用.

　　六課后作業(yè)

　　8.(文)求經(jīng)過點A(-2，-4)，且與直線l：x+3y-26=0相切于(8，6)的圓的方程.

　　9.已知點P到兩個定點M(-1，0)、N(1，0)距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

　　10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

　　教學(xué)設(shè)計說明

　　1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎(chǔ)部分,其內(nèi)容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現(xiàn).多以選擇題形式出現(xiàn),有時也有解答題.即考查基礎(chǔ)知識的應(yīng)用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關(guān)系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關(guān)系的前奏,學(xué)好這一部分知識為后面的復(fù)習(xí)奠定基礎(chǔ)掃清障礙.作為復(fù)習(xí)課,是要在學(xué)生原有的基礎(chǔ)上,通過對直線與圓位置知識的系統(tǒng)化,使學(xué)生對基礎(chǔ)知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節(jié)課的一個重要環(huán)節(jié).

　　2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數(shù)學(xué)尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當(dāng)一部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱,缺乏對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心和科學(xué)的學(xué)習(xí)方法.概括﹑轉(zhuǎn)化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學(xué)習(xí)優(yōu)勢是筆記認(rèn)真,習(xí)慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學(xué)生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節(jié)奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統(tǒng).文科學(xué)生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應(yīng)該注重這方面的教學(xué),并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習(xí)則注重基礎(chǔ)知識的鞏固提高以及題型的變化.

　　3. 課堂教學(xué)過程中注意引導(dǎo)學(xué)生積極思維,鼓勵學(xué)生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養(yǎng)學(xué)數(shù)學(xué)的信心.

　　4. 為了擴大課容量,本節(jié)課嘗試使用多媒體,幫助學(xué)生理解掌握,提高效率