26.(14分)(2014•泉州)如圖，直線y=﹣x+3與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P(2，1).

　　(1)求該反比例函數(shù)的關(guān)系式;

　　(2)設(shè)PC⊥y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′;

　　①求△A′BC的周長(zhǎng)和sin∠BA′C的值;

　?、趯?duì)大于1的常數(shù)m，求x軸上的點(diǎn)M的坐標(biāo)，使得sin∠BMC= .

　　考點(diǎn)： 反比例函數(shù)綜合題;待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;勾股定理;矩形的判定與性質(zhì);垂徑定理;直線與圓的位置關(guān)系;銳角三角函數(shù)的定義

　　專(zhuān)題： 壓軸題;探究型.

　　分析： (1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)= ，然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)(2，1)代入即可.

　　(2)①先求出直線y=﹣x+3與x、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，然后運(yùn)用勾股定理即可求出△A′BC的周長(zhǎng);過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，運(yùn)用面積法可以求出CD長(zhǎng)，從而求出sin∠BA′C的值.

　?、谟捎贐C=2，sin∠BMC= ，因此點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點(diǎn)M應(yīng)是⊙E與x軸的交點(diǎn).然后對(duì)⊙E與x軸的位置關(guān)系進(jìn)行討論，只需運(yùn)用矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)就可求出滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo).

　　解答： 解：(1)設(shè)反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)= .

　　∵點(diǎn)P(2，1)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

　　∴k=2×1=2.

　　∴反比例函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)= .

　　(2)①過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1所示.

　　當(dāng)x=0時(shí)，y=0+3=3，

　　則點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，3).OB=3.

　　當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣x+3，解得x=3，

　　則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3，0)，OA=3.

　　∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為A′，

　　∴OA′=OA=3.

　　∵PC⊥y軸，點(diǎn)P(2，1)，

　　∴OC=1，PC=2.

　　∴BC=2.

　　∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，

　　∴A′B=3 ，A′C= .

　　∴△A′BC的周長(zhǎng)為3 + +2.

　　∵S△ABC= BC•A′O= A′B•CD，

　　∴BC•A′O=A′B•CD.

　　∴2×3=3 ×CD.

　　∴CD= .

　　∵CD⊥A′B，

　　∴sin∠BA′C=

　　=

　　= .

　　∴△A′BC的周長(zhǎng)為3 + +2，sin∠BA′C的值為 .

　?、诋?dāng)1

　　作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C且半徑為m的⊙E，

　　連接CE并延長(zhǎng)，交⊙E于點(diǎn)P，連接BP，

　　過(guò)點(diǎn)E作EG⊥OB，垂足為G，

　　過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示.

　　∵CP是⊙E的直徑，

　　∴∠PBC=90°.

　　∴sin∠BPC= = = .

　　∵sin∠BMC= ，

　　∴∠BMC=∠BPC.

　　∴點(diǎn)M在⊙E上.

　　∵點(diǎn)M在 x軸上

　　∴點(diǎn)M是⊙E與x軸的交點(diǎn).

　　∵EG⊥BC，

　　∴BG=GC=1.

　　∴OG=2.

　　∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，

　　∴四邊形OGEH是矩形.

　　∴EH=OG=2，EG=OH.

　　∵1

　　∴EH>EC.

　　∴⊙E與x軸相離.

　　∴x軸上不存在點(diǎn)M，使得sin∠BMC= .

　　②當(dāng)m=2時(shí)，EH=EC.

　　∴⊙E與x軸相切.

　?、?切點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，如圖2②所示.

　　∴點(diǎn)M與點(diǎn)H重合.

　　∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，

　　∴EG=

　　= .

　　∴OM=OH=EG= .

　　∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ，0).

　?、?切點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，

　　同理可得：點(diǎn)M的坐標(biāo)為(﹣ ，0).

　　③當(dāng)m>2時(shí)，EH

　　∴⊙E與x軸相交.

　　Ⅰ.交點(diǎn)在x軸的正半軸上時(shí)，

　　設(shè)交點(diǎn)為M、M′，連接EM，如圖2③所示.

　　∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，

　　∴MH=

　　=

　　= .

　　∵EH⊥MM′，

　　∴MH=M′H.

　　∴M′H═ .

　　∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，

　　∴EG=

　　=

　　= .

　　∴OH=EG= .

　　∴OM=OH﹣MH= ﹣ ，

　　∴OM′=OH+HM′= + ，

　　∴M( ﹣ ，0)、M′( + ，0).

　?、?交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸上時(shí)，

　　同理可得：M(﹣ + ，0)、M′(﹣ ﹣ ，0).

　　綜上所述：當(dāng)1

　　當(dāng)m=2時(shí)，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ，0)和(﹣ ，0);

　　當(dāng)m>2時(shí)，滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ﹣ ，0)、( + ，0)、(﹣ + ，0)、(﹣ ﹣ ，0).

　　點(diǎn)評(píng)： 本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的關(guān)系式、勾股定理、三角函數(shù)的定義、矩形的判定與性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、垂徑定理等知識(shí)，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過(guò)構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題，綜合性比較強(qiáng)，難度系數(shù)比較大.由BC=2，sin∠BMC= 聯(lián)想到點(diǎn)M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關(guān)鍵.

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